数学をする学部生

数学 トポロジー 代数学 微分幾何学 複素関数論 多様体

本を忘れて気がついたこと。

みなさんお久しぶりです。

前回の投稿にて「明日更新します」と記述したにもかかわらず、更新が今日。嘘をついてしまったという結果になりました。

 

さて気を取り直して。

昨日バイト先に普段読んでいる数学書(多様体論)を忘れてしまい、泣きそうになっていたワタクシです。なぜ泣きそうになっていたかと申しますと、僕はその本に膨大な量(とまではいかないかもしれない)の書き込みをしていたからであります。どんな内容を書き込んでいたかを書き出すと止まらないのですが簡単に言うと定理各々の必要十分条件をはじめ、直感的には理解しにくい定義、定理を自分の知っている定義や考え方に落とし込んで考えるための手法が所々に書き込まれていました。

1月末に試験が終わり、2月に曲面論を読み、2月後半〜4月にかけてその本の内容である多様体論を読んでおりました。そして今月から数学科の友人とその本を用いた多様体ゼミが行われているので、本を無くすとゼミができなくなるという最悪の事態になるのです。本が見つかって本当に良かった。本が一日読めなくなるだけで地獄の苦しみでした。本当にありがとうございました。

 

ところで、多様体というとなんのことやらサッパリ…。という方が数学系の方を含めても「幾何学(図形を扱う内容)なのかな?」くらいの方が多いのではないかと思われるので少々厳密性に欠けはするものの、多様体の紹介をしてみようと思います。

多様体幾何学、図形を扱うようなものなの?と思われている方、正解です。図形の性質を様々な条件を考えながら調べています。
少し正確な話をすると
「ハウスドルフな位相空間であり、n次元ユークリッド空間と同相な開近傍を持つような集合」
のことをn次元位相多様体と呼びます。図形はよくよくみてみると、とある与えられた条件を満たすような「点の集合」ですので、数学において図形は集合と考えて扱うのです。
例えば多様体である代表的な図形は円周や球体などが挙げられます。
特にn次元球面と呼ばれるものが例として有名なものです。
図形(集合)に条件を加えて、と記述しましたがこの条件とは何かというと「微分可能である」という条件が多いです。
微分可能であるという条件を多様体に付加してあげると多様体上での微分を考えることによってどんなおもしろい性質がその多様体上で見られるのかを調べることができます。微分可能構造が定められたr階微分可能な多様体をC^r級微分可能多様体と言ったりします。


ざーーーっくり紹介しましたが、厳密性に欠けているので本気にはしないでください。とりあえず僕は図形の性質を調べようとしている、幾何学と呼ばれるものを勉強しているんだなと思ってください。幾何学代数学解析学、集合・位相空間論など全ての基礎となる数学を用いて行います。つまり代数学解析学、集合・位相空間論の全てができないと幾何学はできません。僕は代数学解析学がまだまだ弱いのでコツコツ勉強してひとつひとつ積み上げていきます。そして今期は複素関数論の勉強をします!(宣言)

 

数学の勉強ををしている人は話が長くなってしまうとよく言われますが、これは相手の誤解を招かないようにするために念押ししたり、程度を正確に伝えようとするためです。悪気はありません、許してください笑

 

それではまた。