本日の進捗環論 - 数学をする学部生

みなさんこんばんは。いつもブログをご愛読ありがとうございますと言いたいところですが本日これが初投稿ということでよろしくお願いします。

夕方までは大学で数学、そしてその後はアルバイトで塾へと動き回り帰宅して洗濯をしながら書いております。さて、このブログは今後数学の進捗や日々の出来事などについて書いていく予定ですが数学の進捗については読み飛ばしたい方はいくらか読み飛ばしていただいてお読みいただければ嬉しく思います。

本日の投稿に関しては数学の進捗に加えてバイト先での生徒とのやりとり(これがまた興味深かったので)について書こうと思ったのですがブログ書きたい欲より疲労感が勝っているのでこれについては明日投稿したいと思います。

試験期間中に購入し読んでいた代数学の本はついに群論を読み終え(シローの定理などの証明は書かれていなかったのでまたの機会に)ついに環論へと進んでいきました。環の定義から部分環と直積、そして斜体、体の定義へと進み最終的に多項式環の箇所まで読み終えました。

本日読んだページの中で「体は整域である」という命題の証明に背理法が使用されていましたが、この証明において可換環Rの任意の元a,bに対してRが整域であることの定義を記すと「a≠0かつb≠0ならばab=ba≠0(Rは可換環より)」となりaはR上の可逆元であるので命題は背理法を除いて示せました。背理法をスッと除去できて非常に気分が良かったです。

そして、本日最もおもしろいなと感じた証明が

「Rを整域とする。f(x)∈R［x］,f(x)は0と合同でないものとすれば f(x)=0の根の数はdeg f(x)個以下である」

というもので、これが非常に興味深いものでした。これは非論理的ではありますがザックリ言ってしまえば「特別な条件下でないものとしてn次方程式はn個の解を持つこと」を言っています。ある意味当たり前のことかもしれませんが当たり前のことを証明することほど難しいと僕は思いますし、この証明を考えた人はすごいなあと。(まとまりがない文章でごめんなさい、慣れてないもんで。)

特別な条件下とは2y=2x+6,y=x+3を解け、などの連立方程式が無限に解を持つときなどを思い浮かべてもらえればある程度の想像がつくと思います。

可換環Rが整域でなければf(x)=0は無限に根を持つことがあるということになるそうな。

証明まで書きたいけど、ここでは割愛。

お待たせいたしました、数学は終わりです！！🙆‍♂️🙆‍♂️🙆‍♂️いや〜！長かった！

………。いやそりゃあも少し書きたいけどブログ初心者ゆえに数式や証明が書きにくい！笑

Texなら少しは書きやすいのかな。

まあいいや、バイトの話に行きましょう！と思ったけど、バイトでの生徒とのやりとりについては前述したように明日投稿します。

ありがとうございました。