本を忘れて気がついたこと。

みなさんお久しぶりです。

前回の投稿にて「明日更新します」と記述したにもかかわらず、更新が今日。嘘をついてしまったという結果になりました。

さて気を取り直して。

昨日バイト先に普段読んでいる数学書(多様体論)を忘れてしまい、泣きそうになっていたワタクシです。なぜ泣きそうになっていたかと申しますと、僕はその本に膨大な量(とまではいかないかもしれない)の書き込みをしていたからであります。どんな内容を書き込んでいたかを書き出すと止まらないのですが簡単に言うと定理各々の必要十分条件をはじめ、直感的には理解しにくい定義、定理を自分の知っている定義や考え方に落とし込んで考えるための手法が所々に書き込まれていました。

1月末に試験が終わり、2月に曲面論を読み、2月後半〜4月にかけてその本の内容である多様体論を読んでおりました。そして今月から数学科の友人とその本を用いた多様体ゼミが行われているので、本を無くすとゼミができなくなるという最悪の事態になるのです。本が見つかって本当に良かった。本が一日読めなくなるだけで地獄の苦しみでした。本当にありがとうございました。

ところで、多様体というとなんのことやらサッパリ…。という方が数学系の方を含めても「幾何学(図形を扱う内容)なのかな？」くらいの方が多いのではないかと思われるので少々厳密性に欠けはするものの、多様体の紹介をしてみようと思います。

多様体は幾何学、図形を扱うようなものなの？と思われている方、正解です。図形の性質を様々な条件を考えながら調べています。
少し正確な話をすると
「ハウスドルフな位相空間であり、n次元ユークリッド空間と同相な開近傍を持つような集合」
のことをn次元位相多様体と呼びます。図形はよくよくみてみると、とある与えられた条件を満たすような「点の集合」ですので、数学において図形は集合と考えて扱うのです。
例えば多様体である代表的な図形は円周や球体などが挙げられます。
特にn次元球面と呼ばれるものが例として有名なものです。
図形(集合)に条件を加えて、と記述しましたがこの条件とは何かというと「微分可能である」という条件が多いです。
微分可能であるという条件を多様体に付加してあげると多様体上での微分を考えることによってどんなおもしろい性質がその多様体上で見られるのかを調べることができます。微分可能構造が定められたr階微分可能な多様体をC^r級微分可能多様体と言ったりします。

ざーーーっくり紹介しましたが、厳密性に欠けているので本気にはしないでください。とりあえず僕は図形の性質を調べようとしている、幾何学と呼ばれるものを勉強しているんだなと思ってください。幾何学は代数学、解析学、集合・位相空間論など全ての基礎となる数学を用いて行います。つまり代数学、解析学、集合・位相空間論の全てができないと幾何学はできません。僕は代数学、解析学がまだまだ弱いのでコツコツ勉強してひとつひとつ積み上げていきます。そして今期は複素関数論の勉強をします！(宣言)

数学の勉強ををしている人は話が長くなってしまうとよく言われますが、これは相手の誤解を招かないようにするために念押ししたり、程度を正確に伝えようとするためです。悪気はありません、許してください笑

それではまた。

本日の進捗 環論

みなさんこんばんは。いつもブログをご愛読ありがとうございますと言いたいところですが本日これが初投稿ということでよろしくお願いします。

夕方までは大学で数学、そしてその後はアルバイトで塾へと動き回り帰宅して洗濯をしながら書いております。さて、このブログは今後数学の進捗や日々の出来事などについて書いていく予定ですが数学の進捗については読み飛ばしたい方はいくらか読み飛ばしていただいてお読みいただければ嬉しく思います。

本日の投稿に関しては数学の進捗に加えてバイト先での生徒とのやりとり(これがまた興味深かったので)について書こうと思ったのですがブログ書きたい欲より疲労感が勝っているのでこれについては明日投稿したいと思います。

試験期間中に購入し読んでいた代数学の本はついに群論を読み終え(シローの定理などの証明は書かれていなかったのでまたの機会に)ついに環論へと進んでいきました。環の定義から部分環と直積、そして斜体、体の定義へと進み最終的に多項式環の箇所まで読み終えました。

本日読んだページの中で「体は整域である」という命題の証明に背理法が使用されていましたが、この証明において可換環Rの任意の元a,bに対してRが整域であることの定義を記すと「a≠0かつb≠0ならばab=ba≠0(Rは可換環より)」となりaはR上の可逆元であるので命題は背理法を除いて示せました。背理法をスッと除去できて非常に気分が良かったです。

そして、本日最もおもしろいなと感じた証明が

「Rを整域とする。f(x)∈R［x］,f(x)は0と合同でないものとすれば f(x)=0の根の数はdeg f(x)個以下である」

というもので、これが非常に興味深いものでした。これは非論理的ではありますがザックリ言ってしまえば「特別な条件下でないものとしてn次方程式はn個の解を持つこと」を言っています。ある意味当たり前のことかもしれませんが当たり前のことを証明することほど難しいと僕は思いますし、この証明を考えた人はすごいなあと。(まとまりがない文章でごめんなさい、慣れてないもんで。)

特別な条件下とは2y=2x+6,y=x+3を解け、などの連立方程式が無限に解を持つときなどを思い浮かべてもらえればある程度の想像がつくと思います。

可換環Rが整域でなければf(x)=0は無限に根を持つことがあるということになるそうな。

証明まで書きたいけど、ここでは割愛。

お待たせいたしました、数学は終わりです！！🙆‍♂️🙆‍♂️🙆‍♂️いや〜！長かった！

………。いやそりゃあも少し書きたいけどブログ初心者ゆえに数式や証明が書きにくい！笑

Texなら少しは書きやすいのかな。

まあいいや、バイトの話に行きましょう！と思ったけど、バイトでの生徒とのやりとりについては前述したように明日投稿します。

ありがとうございました。